raumgeometrie.de

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\newcommand{\vecII}[2]{
\begin{pmatrix}
#1 \\
#2 \\
\end{pmatrix}
}
$

$
\newcommand{\vecIII}[3]{
\begin{pmatrix}
#1 \\
#2 \\
#3 \\
\end{pmatrix}
}
$

$
\newcommand{\RD}[0]{
\mathbb{R}^3
}
$

$
\newcommand{\RZ}[0]{
\mathbb{R}^2
}
$

Während ich im Grundkurs die Parameterform der Ebene ähnlich der der Geraden deduktiv erarbeiten ließ (zur Differenzierung haben nur die beiden stärksten Schüler die Parameterform der Ebene selbständig erarbeitet, sie gingen dazu in einen anderen Raum), sollten die Schüler eines Leistungskurses die Parameterform der Ebene selbständig in Gruppenarbeit erarbeiten.

Die erhielten dazu folgende Aufgabenstellung:

Aufgabenstellung

Ihr kennt nun die Parameterform von Geraden: $g: \vec{x} = \vec{a} + s \vec{v}$. Diese gilt sowohl für den $\RZ$ (Ebene, zweidimensional) als auch für den $\RD$ (Raum, dreidimensional).

Findet nun selbstständig eine Parameterform für Ebenen im Raum. Erklärt, welche Bedeutung die einzelnen Vektoren in dieser Form haben und welche Bedingungen man an die Vektoren stellen muss, damit tatsächlich eine Ebene herauskommt!

Wendet Euch anschließend zur Kontrolle kurz an mich.

Ergebnisse

Eine Schülergruppe erarbeitete die Parameterform der Ebene eigenständig und vollständig richtig. Andere Gruppen erzielten auch nahezu richtige Ergebnisse, die teilweise interessante Fehler enthielten. Ein Ergebnis, das ich ausführlich im Unterricht diskutieren ließ, war von der Form

$$\vec{x} = \vecIII{1}{2}{3} + t \vecIII{-1}{1}{2} + t \vecIII{2}{1}{-1}$$

Diese Parameterform lässt sich über die Eingabezeile sehr einfach direkt in Archimedes Geo3D eingeben:

• O=(0,0,0)
• t=Schieberegler()
• v=Vektor(vec(1,2,3)+t*vec(-1,1,2) + t*vec(2,1,-1),O)

Zieht man nun am Schieberegler t, so stellt man fest, dass sich nur eine Gerade und keine Ebene ergibt. Im Gespräch konnten die Schüler dann den Fehler verstehen. Das richtige Ergebnis mit zwei Schiebereglern lässt sich ebenso einfach in Archimedes Geo3D eingeben. Markieren der beiden Schieberegler und der Vektorspitze ergibt als Ortsfläche die gewünschte Ebene.

Als Bedingung, die die beiden Richtungsvektoren erfüllen müssen, damit sich tatsächlich eine Ebene ergibt, gab es neben der richtigen Lösung (lineare Unabhängigkeit) auch die Vermutung, dass die beiden Richtungsvektoren senkrecht zueinander stehen müssten. Dies war übrigens auch von den beiden Grundkursschülern, die die Ebenenform eigenständig erarbeitet hatten, vermutet worden.

Auch hier ist Archimedes Geo3D geeignet, diese Vermutung zu überprüfen und zu widerlegen.