Eigenschaften des Skalarproduktes

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\newcommand{\vecII}[2]{
\begin{pmatrix}
#1 \\
#2 \\
\end{pmatrix}
}
$

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\newcommand{\vecIII}[3]{
\begin{pmatrix}
#1 \\
#2 \\
#3 \\
\end{pmatrix}
}
$

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\newcommand{\RD}[0]{
\mathbb{R}^3
}
$

Zielgruppe

Dieses Material ist für Lehrer gedacht, die einen Kurs (Grund- oder Leistungskurs) in Analytischer Geometrie unterrichten.

Benötigte Medien

Ein Lehrerrechner mit Beamer und Archimedes Geo3D.

Beschreibung

Während das Addieren und die skalare Multiplikation von Vektoren anschaulich begründet werden können, gibt es keine anschaulich naheligende Erklärung für die Multiplikation von Vektoren. Algebraisch hingegen kommen Schüler schnell auf Ideen wie z.B. $\vecIII{a}{b}{c} \cdot \vecIII{d}{e}{f} = \vecIII{ad}{be}{cf}$. Aus einer solchen Idee kann man eine algebraische Definition des Skalarproduktes entwickeln, oder aber man gibt die Definition einfach vor.

Folgende sehr einfache Idee hat sich bewährt, um die wichtigste geometrische Eigenschaft des Skalarproduktes zu entdecken und die Schüler bei dieser Gelegenheit zu verblüffen (und somit zu motivieren):

• Das Skalarprodukt wird algebraisch definiert, evtl. auf Grundlage einer Schüleridee (s.o.).
• Der Vektor $\vecIII{1}{2}{3}$ wird an die Tafel geschrieben. Frage: Gibt es Vektoren außer dem Nullvektor, die mit diesem Vektor multipliziert Null ergeben?
• Nachdem ein erster Vektor mit dieser Eigenschaft gefunden ist, bestimmen die Schüler in Partnerarbeit fünf solcher Vektoren.
• Jede Partnergruppe gibt die fünf gefundenen Vektoren am Lehrerrechner in der Termeingabe über "`v=(a,b,c)"' ein. Der Rechner sollte dabei so eingestellt sein, dass das Grafikfenster nicht sichtbar ist.
• Die Schüler dürfen Vermutungen äußern über das Aussehen der Vektormenge.
• Das entstandene Bild wird gezeigt und im Raum gedreht, die Schüler beschreiben ihre Beobachtungen und leiten die Eigenschaft $\vec{a}\cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} \perp \vec{b}$ ab.

Die Überraschung, die das entstehende Bild hervorruft, ist geeignet, einen Beweis für die o.g. geometrische Eigenschaft des Skalarprodukts zu motivieren. Ferner lassen sich gut Überlegungen zur Normalenform von Ebenen anschließen, die Tatsache, dass alle Vektorspitzen in einer Ebene liegen, wird häufig genannt.